Question

已知：O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），
（1）如图①，点D在OA上，沿CD折叠△OCD，使点O落在CB上的E处，直接写出点E的坐标．
（2）如图②，点D在OA上，点F在OC上，沿FD折叠△OFD，使点O落在CB上的E处，且CE=2，求直线EF的解析式．
（3）如图③，点D是OA的中点，点E在CB上运动，当△ODE是腰长为5的等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由折叠可知CE=OC，可求出E点的坐标；
（2）设OF=x，则CF=4-x，在Rt△CEF中可求出x，可求出F的坐标，且E点坐标为（2，4），利用待定系数法可求得直线EF的解析式；
（3）由题意可知OD=5，故OD为△ODE的腰，分OD=OE=5和OD=DE=5两种情况，结合勾股定理可求得E点坐标．

解答：解：（1）由折叠的性质可知CE=OC=4，
∵BC∥x轴，且E点在BC上，
∴E点坐标为（4，4）；
（2）∵CE=2，
∴E点坐标为（2，4），
设OF=x，则CF=4-x，
在Rt△CEF中由勾股定理可得：CF²+CE²=EF²，
即（4-x）²+2²=x²，解得x=

5

2

，
∴F点坐标为（0，

5

2

），
设直线EF解析式为y=kx+b，代入E、F坐标可得

b= 5 2 2k+ 5 2 =4

，解得

k= 3 4 b= 5 2

，
∴直线EF解析式为：y=

3

4

x+

5

2

；
（3）∵D为OA中点，且OA=10，
∴OD=5，
当△ODE是腰长为5的等腰三角形时有两种情况：
①当OD=OE=5时，在Rt△COE中，可求得CE=3，故E点坐标为（3，4）；
②当OD=DE=5时，有两种情况，
当∠ODE为锐角时，过E作EG⊥OA于点G，如图，

则EG=4，在Rt△EGD中，由勾股定理可求得GD=3，
∴OG=2，故E点坐标为（2，4），
当∠ODE为钝角时，则理可求得E点坐标为（8，4），
综上可知当△ODE是腰长为5的等腰三角形时E点坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和折叠、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用．求出线段的长度可得到相应点的坐标是解题的关键，在（3）中分两种情况讨论是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用，本题难度不大，考查的都是基础的知识，但需要注意考虑全面，否则容易出现漏解的错误．