Question

9．如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A、B，与抛物线y=x²相交于C，D，AC=$\sqrt{5}$，且sin∠OAB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求该直线的解析式及点D的坐标．

Answer 1

分析 过点C作CP⊥OA于点P，由sin∠OAB=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$、AC=$\sqrt{5}$求得CP、AP的长，根据抛物线解析式及C点纵坐标可得点C横坐标即OP的长，继而求得点A、C坐标，再利用待定系数法求解可得直线解析式，由直线和抛物线解析式联立方程组，解之可得点D坐标．

解答 解：如图，过点C作CP⊥OA于点P，

∵sin∠OAB=$\frac{CP}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=$\sqrt{5}$，
∴CP=1，
∴AP=$\sqrt{A{C}^{2}-C{P}^{2}}$=2，
在y=x²中，当y=1时，有x²=1，
解得：x=±1，
∴OP=1，点C（1，1），
则A（3，0），
将点A（3，0）、C（1，1）代入y=kx+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
则点D的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题主要考查解直角三角形、一次函数和二次函数图象上点的坐标特点及相交问题，解直角三角形求得点A、C坐标从而待定系数法求得解析式是解题的关键．