Question

如图8，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式．

（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标．

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）设抛物线为

∵二次函数的图象过点A(－1，0)、C(0，5)

∴

解得：                            

∴二次函数的函数关系式为

即y=－x²+4x+5                    

（2）当a=1时，E（1,0）,F（2,0），

设P的坐标为(x，－x²+4x+5)

过点P作y轴的垂线，垂足为G，

则四边形MEFP面积

=

=

=

=

所以，当时，四边形MEFP面积的最大，最大值为，

此时点P坐标为.

（3）EF=1，把点M向右平移1个单位得点M₁，再做点M₁关于x轴的对称点M₂,在四边形FMEF中，因为边PM，EF为固定值，所以要使四边形FMEF周长最小，则ME+PF最小，因为ME=M₁F=M₂F，所以只要使M₂F+PF最小即可，所以点F应该是直线M₂P与x轴的交点，由OM=1，OC=5，得点P的纵坐标为3，根据y=－x²+4x+5可求得点P（）

又点M₂坐标为（1，－1），

所以直线M₂P的解析式为：，

当y=0时，求得，∴F（，0）

 ∴

所以，当时，四边形FMEF周长最小.