Question

在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB=AD，AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：证明题

分析：首先证明△ADO≌△CDO可得AD=CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，再由条件AC⊥BD可得四边形ABCD是菱形．

解答：证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠DOC，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ADB=∠CDB，
在△ADO和△CDO中，

∠AOD=∠DOC DO=DO ∠ADO=∠CDO

，
∴△ADO≌△CDO（ASA），
∴AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．