Question

如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连结QE并延长交BP于点F．
（1）若等边△ABE和△APQ的边长分别为6和10，求线段EQ的长度；
（2）猜想EF与图中哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠QAE，根据SAS推出△ABP≌△AEQ，推出EQ=BP即可；
（2）根据全等求出∠AEQ=90°，求出∠BEF=∠FBE=30°，即可得出答案．

解答：（1）解：∵△ABE和△APQ是等边三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠QAE=60°-∠PAE，
在△ABP和△AEQ中，

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴EQ=BP，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=10，由勾股定理得：BP=8，
即EQ=8．

（2）解：EF=BF，
理由是：由△AEQ≌△ABP得∠AEQ=∠ABE=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠BEF=30°，
又∵∠EBF=∠ABP-∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠EBF=∠FEB，
∴EF=BF．

点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理的应用，题目比较好，难度偏大．