Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C_n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，12，…，根据上述规律，抛物线C_n的顶点坐标为（$\frac{{n}^{2}-n+4}{2}$，$\frac{{n}^{2}-n+10}{6}$）．

Answer 1

分析 根据A（-3，0），B（0，1）求直线AB的解析式，再根据横坐标的值依次求出各抛物线顶点坐标，寻找变化规律

解答 解：设直线AB的解析式为：y=kx+b
把A（-3，0），B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+1
∵抛物线c₁的顶点的横坐标为2，且顶点在直线AB上，
∴抛物线c₁的顶点坐标为（2，$\frac{5}{3}$）
同理可得：抛物线c₂的顶点坐标为（3，2）
抛物线c₃的顶点坐标为（5，$\frac{8}{3}$）
抛物线c₄的顶点坐标为（8，$\frac{11}{3}$）
…
其中，C_n（n=1，2，3，4，…）的横坐标分别为：2，3，5，8，12，…，
则第n个抛物线的顶点的横坐标为：$\frac{{n}^{2}-n+4}{2}$
∴将X_n=$\frac{{n}^{2}-n+4}{2}$代入一次函数y=$\frac{1}{3}$x+1得y_n=$\frac{{n}^{2}-n+10}{6}$
∴抛物线C_n顶点坐标为（$\frac{{n}^{2}-n+4}{2}$，$\frac{{n}^{2}-n+10}{6}$）

点评 本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，进一步考查了学生的分析归纳能力．