Question

15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为（ $\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．

解答 解：∵A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间=$\frac{2}{0.5}$=4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵$\frac{2015}{16}$=125…15，
∴移动到第2015秒和第15秒的位置相同，当P运动到第15秒时，如图所示，作PE⊥AC于E，PF⊥OD于F．
可得 $\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∵PE∥OD，PF∥OA，
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{AP}{AD}$，$\frac{PF}{OA}$=$\frac{DP}{DA}$，
∴PE=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，PF=1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P（ $\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
故答案为：（ $\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查的是菱形的性质，路程、速度、时间之间的关系，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题，所以中考常考题型．