Question

18．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，∠ACD=22.5°，CD=4．
（1）求AB的长；
（2）求∠BAC的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA=22.5°，再根据三角形外角的性质可得∠COE=45°，进而求出AE的长，再根据垂径定理可得答案；
（2）求出CE的长，利用正切值的定义求出答案．

解答 解：（1）连结OA．
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴AE=OE，
在Rt△AOE中，OA=2，
∴AE=OE=$\sqrt{2}$，
由垂径定理，得AB=2AE=2$\sqrt{2}$；
（2）∵CE=2+$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{2}$，
∴tan∠BAC=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1．

点评 此题主要考查了圆周角定理、垂径定理以及解直角三角形等知识，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．