题目内容
(1)探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
(2)结论应用：
如图③，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点D．试探究在抛物线y＝ax2＋bx＋c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚
解析：
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(1)①证明：分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴AB∥CD． ∴ME＝NF． ∵ ∴S△ABM＝S△ABN．1分
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K． 则∠DHA＝∠EKB＝90°． ∵AD∥BE， ∴∠DAH＝∠EBK． ∵AD＝BE， ∴△DAH≌△EBK． ∴DH＝EK．2分 ∵CD∥AB∥EF， ∴ ∴S△ABM＝S△ABG 3分
(2)答：存在． 4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得 ∴该抛物线的表达式为 ∴D点坐标为(0，3)． 设直线AD的表达式为 ∴直线AD的表达式为 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为 ∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为 由(1)可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ①若E点在直线AD的上方(如图③)， 则PF＝ ∴EP＝EF－PF＝ ∴ 解得 当 ∴E点坐标为(2，3)． 同理当m＝1时，E点坐标为(1，4)，与C点重合．8分
②若E点在直线AD的下方(如图④，⑤)， 则 ∴ 当 当 ∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1(2，3)； (其他解法可酌情处理)
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S△ABM＝
，S△ABN＝
，
，S△ABG＝
，
，解得
，即
．5分
，代入点A的坐标，得
，解得
．
．
．
．
，EF∥CG．
＝
．
．
，
．7分
时，PF＝3－2＝1，EF＝1＋2＝3．
．9分
．解得
，
．10分
时，E点的纵坐标为
；
时，E点的纵坐标为
．
；
．12分
