Question

若三个数a、b、c满足

b

a

=

c

b

，则称a、b、c为等比数列，现有一个正数，其小数部分，整数部分，和其自身依次成等比数列，则该正数是

 

．

Answer 1

分析：设出2个未知数，关系式为：整数部分的平方=小数部分×自身，把相关数值代入后判断出整数部分，进而解一元二次方程得到小数部分，相加即可．

解答：解：设此数为x+y，x为非负整数，0＜y＜1．
∴y（x+y）=x²，
x²=xy+y²，
当x≥2时，
左边≥4，右边≤2+1=3
∴x=1（x=0也可轻易排除，因为这将导致x=y=0与此数为正数矛盾）
∴y² +y-1=0
再加上0＜y＜1，解此二次方程得到
y=

5 -1

2

，
∴所求的数为x+y=

5 +1

2

．

点评：考查数的判断；根据等比性质得到相关的等式是解决本题的关键，判断出相应的整数是解决本题的难点．