Question

（2013•山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD．
（1）若AB=2，OD=3，求BC的长；
（2）若作直线CD，试说明直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）求出∠ACB=∠DAO=90°，∠B=∠DOA，证△ABC∽△DOA，推出

AB

OD

=

BC

OA

，代入求出即可；
（2）求出∠COD=∠AOD，证△DOC≌△DOA，推出∠OAD=∠OCD=90°，即可得出答案．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠ACB=∠DAO=90°，
∵BC∥OD，
∴∠B=∠DOA，
∵∠ACB=∠DAO，∠B=∠DOA，
∴△ABC∽△DOA，
∴

AB

OD

=

BC

OA

，
∵AB=2，OD=3，OA=1，
∴

2

3

=

BC

1

，
解得：BC=

2

3

．

（2）证明：连接OC，
∵BC∥OD，
∴∠B=∠AOD，∠BCO=∠COD，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC，
∴∠COD=∠AOD，
∵在△DOC和△DOA中

OC=OA ∠COD=∠AOD OD=OD

，
∴△DOC≌△DOA，
∴∠OCD=∠OAD，
∵∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
∵OC是半径，
∴DC是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，切线的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．