Question

18．我们规定：函数y=$\frac{ax+k}{x+b}$（a、b、k是常数，k≠ab）叫广义反比例函数．当a=b=0时，广义反比例函数y=$\frac{ax+k}{x+b}$就是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为广义反比例函数；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若广义反比例函数y=$\frac{ax+k}{x-4}$的图象经过点B、E，求该广义反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个广义反比例函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）只需运用矩形的面积公式就可求出函数关系式，从而解决问题；
（2）可先求出直线OB和直线CD的解析式，求出它们的交点E的坐标，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（3）将坐标原点平移到点M的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点P在点B的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点P在新坐标系下的坐标，就可求出点P在原坐标系下的坐标

解答 解：（1）是广义反比例函数；
理由：由题意得：（2+x）（3+y）=8．
即3+y=$\frac{8}{x+2}$，
∴y=$\frac{8}{x+2}$-3=$\frac{-3x+2}{x+2}$．
根据定义，y=$\frac{-3x+2}{x+2}$是广义反比例函数．

（2）如图1，

由题意得：B（6，3）、D（3，0），
设直线OB的解析式为y=mx，
则有6m=3，解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴直线OB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-x+3．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点E（2，1）．
将点B（6，3）和E（2，1）代入y=$\frac{ax+k}{x-4}$得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6a+k}{6-4}=3}\\{\frac{2a+k}{2-4}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴广义反比例函数的表达式为y=$\frac{2x-6}{x-4}$．
（3）满足条件的点P的坐标为（2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$+4）或（2$\sqrt{5}$+8，$\sqrt{5}$）．
①若点P在点B的左边，如图2①，

以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系，
在该坐标系下广义函数的解析式为y′=$\frac{2}{x'}$，点B的新坐标为（2，1）．
∵直线PQ与双曲线y′=$\frac{2}{x'}$都是以点M为对称中心的中心对称图形，
∴MP=MQ．
∵MB=ME，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∴S_?BPEQ=4S_△BMP=16，
∴S_△BMP=4．
过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H，
根据反比例函数比例系数的几何意义可得：
S_△PGM=S_△BHM=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_△BMP=S_△PGM+S_梯形BHGP-S_△BHM=S_梯形BHGP=4，
设点P在新坐标系中的坐标为（x′，$\frac{2}{x'}$），
则有S_梯形BHGP=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{2}{x'}$）•（2-x′）=4，
解得x₁′=-4-2$\sqrt{5}$（舍去），x₂′=-4+2$\sqrt{5}$，
当x=-4+2$\sqrt{5}$时，$\frac{2}{x'}$=$\frac{2}{-4+2\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$+2，
即点P在新坐标系中的坐标为（-4+2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$+2），
∴点P在原坐标系中的坐标为（2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$+4）；
②若点P在点B的右边，如图2②，

同理可得：点P在原坐标系中的坐标为（2$\sqrt{5}$+8，$\sqrt{5}$），
满足条件的点P的坐标为（2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$+4），（2$\sqrt{5}$+8，$\sqrt{5}$）．．

点评 此题是反比例函数综合题，属于新定义型，考查了运用待定系数法求函数的解析式，求两函数图象的交点、平行四边形的判定与性质、反比例函数比例系数的几何意义等知识，运用平移坐标轴法是解决第（3）小题的关键．