题目内容
（2012•上城区二模）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，A
C上．连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
（1）求证：
=
；
（2）求证：MN2=DM•EN；
（3）若AB=AC=2，求MN的长．
C上．连接AG，AF分别交DE于M，N两点．（1）求证：
| DM |
| BG |
| MN |
| GF |
（2）求证：MN2=DM•EN；
（3）若AB=AC=2，求MN的长．
分析：（1）根据平行线推出△ADM∽△ABG，推出
=
，同理得出
=
，即可得出答案；
（2）推出
=
，
=
，求出∠B=∠CEF，和∠BGD=∠EFC=90°，推出△BGD∽△EFC，得出
=
，根据DG=GF=EF推出
=
即可；
（3）由勾股定理求出BC=2
，根据∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，求出BG=DG=GF=EF=FC=
，即可求出DM=MN=EN，即可求出答案．
| DM |
| BG |
| AM |
| AG |
| MN |
| GF |
| AM |
| AG |
（2）推出
| DM |
| MN |
| BG |
| GF |
| GF |
| FC |
| MN |
| NE |
| BG |
| DG |
| EF |
| FC |
| DM |
| MN |
| MN |
| NE |
（3）由勾股定理求出BC=2
| 2 |
2
| ||
| 3 |
解答：（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，
∴DE∥BF，
∴△ADM∽△ABG，
∴
=
，
同理：
=
，
∴
=
．
（2）证明：∵由（1）可知：
=
，同理也可以得到
=
，
∴
=
，
=
，
∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC=90°，
∴△BGD∽△EFC，
∴
=
，
∵DG，GF，EF是同一个正方形的边长，
∴DG=GF=EF，
∴
=
，
∴
=
，
∴MN 2=DM•EN．
（3）解：∵AC=AB=2，∠CAB=90°，
∴由勾股定理得：BC=2
，
∵∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，
∴BG=DG=GF=EF=FC=
，
∵由（1）（2）可得：
=
=
，
∴DM=MN=EN=
，
答：MN的长是
．
∴DE∥BF，
∴△ADM∽△ABG，
∴
| DM |
| BG |
| AM |
| AG |
同理：
| MN |
| GF |
| AM |
| AG |
∴
| DM |
| BG |
| MN |
| GF |
（2）证明：∵由（1）可知：
| DM |
| BG |
| MN |
| GF |
| NE |
| FC |
| MN |
| GF |
∴
| DM |
| MN |
| BG |
| GF |
| GF |
| FC |
| MN |
| NE |
∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°．∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC=90°，
∴△BGD∽△EFC，
∴
| BG |
| DG |
| EF |
| FC |
∵DG，GF，EF是同一个正方形的边长，
∴DG=GF=EF，
∴
| BG |
| GF |
| GF |
| FC |
∴
| DM |
| MN |
| MN |
| NE |
∴MN 2=DM•EN．
（3）解：∵AC=AB=2，∠CAB=90°，
∴由勾股定理得：BC=2
| 2 |
∵∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，
∴BG=DG=GF=EF=FC=
2
| ||
| 3 |
∵由（1）（2）可得：
| DM |
| BG |
| MN |
| GF |
| NE |
| FC |
∴DM=MN=EN=
2
| ||
| 9 |
答：MN的长是
2
| ||
| 9 |
点评：本题综合考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，能熟练地运用相似三角形的性质和判定进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．
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