Question

如图，在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为（0，2），半径为2，点A在⊙C上，点B在x轴的负半轴上，△OAB为等边三角形．
（1）求点A的坐标；
（2）求证：BA是⊙C的切线；
（3）若将⊙C沿水平方向平移至⊙C′且直线OA是⊙C′的切线，求C′的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AC，过点C作CD⊥OA，过点A作AE⊥OB，根据△OAB为等边三角形可知OA=OB，∠AOB=60°，故可得出∠AOC=30°，由锐角三角函数的定义求出OD的长，进而得出OA的长，由此可得出A点坐标；
（2）根据（1）可知∠AOC=30°，由于AC=OC，故∠OAC=∠AOC=30°，故可得出∠BAC的度数，进而得出结论；
（3）由于⊙C运动的方向不能确定，故应分向右运动与向左运动两种情况进行讨论．

解答：（1）解：连接AC，过点C作CD⊥OA，过点A作AE⊥OB，
∵△OAB为等边三角形，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°，
∵OC=AC，
∴OA=2OD，
∵OC=2，
∴OD=OC•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴OA=OB=2

3

，
∴OE=

3

，
∴AE=OA•sin60°=2

3

×

3

2

=3，
∴A（-

3

，3）；

（2）证明：∵（1）可知∠AOC=30°，AC=OC，
∴∠OAC=∠AOC=30°，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=60°+30°=90°，
∴BA是⊙C的切线；

（3）解：如图2，⊙C沿水平方向平移至⊙C′时，设⊙C′与OA相切于点M，与x轴相切于点N，连接C′M，C′N，OC′，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AON=120°，
∵OA与ON均为⊙C′的切线，
∴∠NOC′=

1

2

∠AON=60°，
∵CN=2，
∴ON=

C′N

tan60°

=

2

3

=

2 3

3

，
∴C′（

2 3

3

，2）；
如图3，当⊙C沿水平方向平移至⊙C′时，
∵由（2）知，BA是⊙C的切线，
∴当⊙C′过点A、B时OA是⊙C′的切线，
∴C′（-2

3

，2）．
综上所述，C′（

2 3

3

，2）或（-2

3

，2）．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的判定与性质、直角三角形的性质等知识，难度适中．