Question

20．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，F是DE上一点，且EC⊥BC，EC=BD，DF=FE
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AF=5，求△ADE的面积．

Answer 1

分析 （1）证出∠B=∠ACE，由SAS证明三角形全等即可；
（2）利用（1）的结论△ABD≌△ACE得出AD=AE，∩BAD=∩CAE，证出∠ADE是直角三角形，在等腰三角形ADE中，又因为DF=EF，所以可利用等腰三角形的三线合一的性质得出结论AF⊥DE，求出DE=2AF=10，即可得出△ADE的面积．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠BCA=45°．
又∵EC⊥BC，
∴∠ACE=90°-45°=45°．
∴∠B=∠ACE．
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACE}&{\;}\\{DB=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：由（1）知△ABD≌△ACE，
∴AD=AE．∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
等腰△ADE中，DF=EF，
∴AF⊥DE，DE=2DF=10，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$DE•AF=$\frac{1}{2}$×10×5=25．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的问题要找准三角形中现有的条件然后找需要的条件，根据所给出的已知条件结合图形得出所需条件．等腰三角形中三线合一是非常重要的．注意应用．