如图.在直角坐标系xOy中.Rt△AOB的两直角边分别在两坐标轴上.A.OC⊥AB于C．(1)若a=8.求△AOC的面积,(2)直线AD分别交OC于D.交y轴于E.且OD=OE.过B作BF⊥直线AD于F.求证:AE=2BF,(3)点G与B关于x轴对称.点P是X轴负半轴上一动点.过点P作BP的垂线与AG相交于点H.若点M为第一象限内任一点.过点B作BQ⊥HM于Q.当点P在x轴的负� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，在直角坐标系xOy中，Rt△AOB的两直角边分别在两坐标轴上，A（a，0），B（0，a），OC⊥AB于C．
（1）若a=8，求△AOC的面积；
（2）直线AD分别交OC于D，交y轴于E，且OD=OE，过B作BF⊥直线AD于F，求证：AE=2BF；
（3）点G与B关于x轴对称，点P是X轴负半轴上一动点，过点P作BP的垂线与AG相交于点H，若点M为第一象限内任一点，过点B作BQ⊥HM于Q，当点P在x轴的负半轴上运动时，∠BQP的度数是否发生变化？若不变，请求出∠BQP的度数；若变化，请求出其变化范围．

分析（1）由A（a，0），B（0，a），得到OA=OB=a，根据OC⊥AB于C，求出OC=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠OED+∠OAE=90°，由OC⊥AB，得到∠CDA+∠CAD=90°，根据余角的性质得到∠OAD=∠CAD，证得AD为∠OAB的平分线，延长BF交x轴于点M，根据等腰三角形的性质得到BM=2BF，推出△BMO≌△AEO，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）由点G与B关于x轴对称，得到∠GAO=∠BAO=45°，求出∠BAG=90°，由于BP⊥PG，BQ⊥QG，于是得到∠BPH=∠BAG=∠BQG=90°，推出P，H，Q，QB四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．

解答解：（1）∵A（a，0），B（0，a），
∴OA=OB=a，
∵OC⊥AB于C，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，当a=8时，OC=AC=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}×4×4$=8；

（2）∵OD=OE，∠OED=∠ODE=∠CDA，
∵OE⊥AO，
∴∠OED+∠OAE=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD为∠OAB的平分线，
延长BF交x轴于点M，则BM=2BF，
∵∠BMO+∠OBM=90°，∠OBF+∠BEF=∠OBF+∠OEA=90°，
∴∠BMO=∠OEA，
在△BMO与△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠OEA}\\{∠MOB=∠EOA}\\{BO=OA}\end{array}\right.$，
∴△BMO≌△AEO，
∴AE=BM=2BF，

（3）∠BQP不变，∠BQP=45°，
∵点G与B关于x轴对称，
∴∠GAO=∠BAO=45°，
∴∠BAG=90°，
∵BP⊥PG，BQ⊥QG，
∴∠BPH=∠BAG=∠BQG=90°，
∴P，H，Q，QB四点共圆，
∴∠BQP=∠BAP=45°．