Question

⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．
（1）如图（1），已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图（2），CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
（3）若图（2）中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是另外两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OC，根据弦切角定理和圆的性质可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，结合圆周角定理可求得∠OCD=90°，可证明CD是切线；
（2）先证明△BCD∽△EAD，结合条件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距离；
（3）分点D在⊙O外和点D在⊙O内两种情况，当D在⊙O外时又分D在A点左边和D在B点右边两种情况，当D在⊙O内时只有一种，结合图形可给出答案．

解答：（1）证明：如图（1），连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，
∴△BCD∽△EAD，
∴

CD

AD

=

BD

ED

，
∴

CE+ED

AB+BD

=

BD

ED

，
又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半径为5，
∴BD=2，DE=3，EC=5，
如图（2），连接OC、OE，则△OEC是等边三角形，
作OF⊥CE于F，则EF=

1

2

CE=

5

2

，∴OF=

5

2

3

，
∴圆心O到直线CD的距离是

5

2

3

．

（3）解：这样的情形共有出现三次：
当点D在⊙O外时，点E是CD中点，有以下两种情形，如图1、图2；
当点D在⊙O内时，点D是CE中点，有以下一种情形，如图3．

点评：本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识点的综合应用．在（1）中掌握好切线的两种证明方法，①有切点时连接圆心和切点证明垂直，②无切点时作垂直证明距离等于半径；在（2）中注意利用相似三角形的对应边成比例来求得线段的长度；在（3）中注意分类讨论．本题难度适中，属于基础性的综合．