Question

16．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元，物价部门规定其单价不得高于每千克70元，也不低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中的二次函数配方成$y=a{（x+\frac{b}{2a}）^2}+\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}$的形式，写出顶点坐标，指出单价定为多少时日均获利最多，最多是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

Answer 1

分析 （1）由日均获利y=（售价-成本）×销售量-其他费用500元，由此关系式列出函数关系式；
（2）运用配方法配成顶点式，得出顶点坐标，利用二次函数的性质求出最大值及此时对应的单价；
（3）分别计算出日均获利最多时的利润额和销售单价最高时的利润额，做差比较即可．

解答 解：（1）由题意，得
y=（x-30）[60+2×（70-x）]-500=-2x²+260x-6500，
即y=-2x²+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）y=-2x²+260x-6500=-2（x-65）²+1950，
顶点是（65，1950），
当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元；

（3）当日均获利最多时：
单价为65元，日均销售为：60+2×（70-65）=70kg，
那么获利为：1950×（7000÷70）=195000元．
当销售单价最高时单价为70元，
日均销售60kg，将这种化工原料全部售完需7000÷60≈117天，
那么获利为（70-30）×7000-117×500=221500元．
因为221500＞195000，且221500-195000=26500元，
所以，销售单价最高时获利更多，且多获利26500元．

点评 本题考查的是用二次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用二次函数求最值时，关键是应用二次函数的性质：即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．