Question

8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（　　）

• A． 1
• B． 4-2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$-4

Answer 1

分析 在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=$\sqrt{2}$EF，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．

解答 解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，
∵EF⊥AB，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG=$\sqrt{2}$EF，∠EGF=45°，
由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，
∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，
∴∠BAE=∠AEG=22.5°，
∴AG=EG，
在正方形ABCD中，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF，
设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，
∴4=$\sqrt{2}$x+x+x，
解得x=2（2-$\sqrt{2}$）=4-2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程．