Question

14．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，CD∥BF且CD与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，∠BCD=35°．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径和BC的长（精确到0.1）．

Answer 1

分析 （1）由于直径AB与弦CD互相垂直，BF∥CD，根据平行线的性质得AB⊥BF，于是根据切线的判定定理得到BF是⊙O的切线；
（2）连结BD，如图，根据圆周角定理得∠BCD=∠A=35°，再由AB为直径得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中利用余弦的定义可计算出AB，从而得到⊙O的半径；在Rt△ABD中利用正切的定义可计算出BD=2.1，根据垂径定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，从而得出BC=BD=2.1．

解答 （1）证明：∵直径AB与弦CD互相垂直，BF∥CD，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：连结BD，如图，
∵∠BCD=∠A=35°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵cos35°=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{AD}{AB}$≈0.82，
∴AB=$\frac{3}{0.82}$≈3.66，
∴⊙O的半径为1.8；
∵tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$，
∴tan35°=$\frac{BD}{3}$，
∴BD=3×0.70=2.1，
∵直径AB与弦CD互相垂直，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BC=BD=2.1．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和解直角三角形．