Question

5．已知抛物线y=x²+2x+k-2与x轴有两个不同的交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该抛物线与x轴的交点都是整数点，求k的值．
（3）如果反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x₀，且满足1＜x₀＜2，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴有两个交点，求出△的取值范围，即可求出k的取值范围；
（2）根据（1）的结论，且k为正整数，求出k的值，将k代入抛物线解析式，检验是否与x轴有两个交点即可；
（3）根据当1＜x₀＜2时，对于y=x²+2x，y随着x的增大而增大，再利用x=1和2时y的值得出m的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+2x+k-2与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，即△=4-4（k-2）=12-4k＞0，
解得k＜3；
（2）∵k＜3且k为正整数，
∴k=2或1．
当k=1时，y=x²+2x-1，不合题意，舍去．
当k=2时，y=x²+2x，与x轴的两个交点是（-2，0）与（0，0）．
∴k=2；
（3）3＜m＜16．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数与不等式等知识．解决第（1）小题的关键是熟记根的判别式：△=b²-4ac；解决第（2）小题的关键是能利用分类讨论的思想确定出k的最终取值；第（3）小题根据二次函数图象上点的特征得出m的值是解题关键．