Question

如图所示，AB是⊙O的直径，过点A作AC交⊙O于D，且AD=CD，连接BC，过D点作⊙O的切线交BC于E．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）当AB=10，AD=7时，求EC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据切线的性质定理以及直径所对的圆周角相等，即证得∠ADO=∠EDB，即可证得∠A=∠EDB，∠ABD=∠CBD，利用三角形的内角和定理证得∠DEB=∠ADB=90°，从而证得；
（2）证明△ABD∽△DBE，根据相似三角形的对应边的比相等求得BE的长，则EC即可证得．

解答：解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
又∵AD=CD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD，
∵DE是圆的切线，
∴OD⊥DE，即∠ODE=90°，
∴∠ADO=∠EDB，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠ABD=∠CBD，
∴∠DEB=∠ADB=90°，
∴DE⊥BC；
（2）在直角△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

102-72

=

51

，
∵∠A=∠EDB，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴

BE

BD

=

BD

AB

，即

BE

51

=

51

10

，
解得：BE=

51

10

，
则EC=BC-BE=10-

51

10

=

49

10

．

点评：本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理，和相似三角形的判定与性质，正确证明∠ABD=∠CBD是关键．