Question

7．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交
BE于M，FD、AC的延长线交于点N
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）若DF=3，求FM•FN的值；
（3）若AC=BC，DN=12，tanN=$\frac{1}{2}$，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠FBM=∠N即可解决问题；
（2）由△BFM∽△NFA，推出$\frac{FM}{FA}$=$\frac{BF}{FN}$，可得FM•FN=FA•FB，由△AFD∽△DFB，可得DF²=FA•FB，可得FM•FN=DF²，由此即可解决问题；
（3）作DK⊥AC于K．由tan∠N=$\frac{DK}{KN}$=$\frac{1}{2}$，设DK=a，KN=2a，在Rt△DKN中，DN²=DK²+KN²，可得12²=a²+4a²，推出a=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，即DK=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，再证明BE=2DK=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，根据tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，可得AE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，在Rt△ABE中，根据AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=12，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，
∴∠BFM=∠BEN=∠AFN=∠AEB=90°，
∴∠FBM+∠BAE=90°，∠BAE+∠N=90°，
∴∠FBM=∠N，∵∠BFM=∠AFN，
∴△BFM∽△NFA．

（2）解：∵△BFM∽△NFA，
∴$\frac{FM}{FA}$=$\frac{BF}{FN}$，
∴FM•FN=FA•FB，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠BDF=90°，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠AFD=∠BFD=90°，
∴△AFD∽△DFB，
∴DF²=FA•FB，
∴FM•FN=DF²=9．

（3）解：作DK⊥AC于K．
∵tan∠N=$\frac{DK}{KN}$=$\frac{1}{2}$，设DK=a，KN=2a，
在Rt△DKN中，DN²=DK²+KN²，
∴12²=a²+4a²，
∴a=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴DK=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∵DK∥BE，
∴KC=EK，
∴BE=2DK=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ABE=∠N，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=12
∴AC=AB=12．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．