题目内容

如图，把Rt△ACB与Rt△DCE按图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△DCE绕直角顶点C按顺时针方向旋转30°，使得AB分别与DC，DE相交于点F、G，CB与DE相交于点M，如图（乙）所示．
（1）求CM的长；
（2）求△ACB与△DCE的重叠部分（即四边形CMGF）的面积（保留根号）；
（3）将△DCE按顺时针方向继续旋转45°，得△D₁CE₁，这时，点D₁在△ACB的内部，外部，还是边上？证明你的判断．

解：（1）∵旋转角度为30°，即∠ACD=30°，
∴∠DCM=90°-30°=60°，
∴∠D=∠DCM=60°，
∴△DCM为正三角形，
∴CM=CD=2；

（2）在△ACF中，∠AFC=180°-∠BAC-∠ACD=180°-60°-30°=90°，
∵AC=2，
∴CF=AC•sin60°=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
DF=CD-CF=2- $\text{[math]}$ ，
在Rt△DFG中，FG=DF•tan60°=（2- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
由图可知S_{四边形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，
= $\text{[math]}$ ×2×（2× $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ×（2- $\text{[math]}$ ）×（2- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （7 $\text{[math]}$ -12），
=6- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（3）点D₁在△ACB的内部．
理由如下：如图，设直线CD与直线AB相交于点N，
∵△DCE按顺时针方向继续旋转45°，
∴∠FCN=45°，
在Rt△FCN中，CN=CF÷cos∠FCN= $\text{[math]}$ ÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ＞2，
∴点D₁在△ACB的内部．
分析：（1）根据旋转的角度求出∠DCM=60°，然后判定△DCM是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等解答即可；
（2）先求出∠AFC=90°，然后解直角三角形求出CF的长度，再求出DF的长度，在Rt△DFG中求出FG，然后根据S_{四边形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，列式进行计算即可得解；
（3）设直线CD与直线AB相交于点N，根据旋转的角度为45°可得△CDN是等腰直角三角形，再解直角三角形求出CN的长度，然后与边长2进行比较即可得解．
点评：本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及解直角三角形，（2）中利用两个三角形的面积表示不规则四边形的面积是解题的关键．