Question

2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF∽△AOF．其中一定成立的有（　　）个．

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 ①根据直径所对的圆周角是90°得出结论正确；
②⑥在△AOF和△CFE中，由于对顶角∠AFO=∠CFE，可知因为∠A与∠C不一定相等，所以②和⑥不正确；
③根据同圆的半径相等和平行线的性质得：∠ABC=∠CBD，可以得结论正确；
④由垂径定理可得结论正确；
⑤由中位线定理可得结论正确．

解答 解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
所以选项①正确；
②∵C，D是⊙O上的点，
∴$\widehat{BD}$与$\widehat{AC}$不一定相等，
∴∠A与∠CBA不一定相等，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBA，
∴∠A与∠C不一定相等，
∵∠AFO=∠CFE，
∴∠AOC与∠AEC不一定相等，
∴△CEF与△AOF不一定相似，
所以②和⑥不正确；
③∵OB=OC，
∴∠C=∠ABC，
∵OC∥BD，
∴∠C=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴CB平分∠ABD，
所以③正确；
④∵OC∥BD，
∴∠AFO=∠ADB=90°，
∴OC⊥AD，
∴AF=DF，
所以④正确；
⑤∵AO=BO，AF=FD，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF，
所以⑤正确，
所以本题正确的结论有：①③④⑤，一共4个；
故选B．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定、三角形的中位线定理、垂径定理，应用的知识点较多，但难度不大，熟练掌握这些性质是本题的关键．