类比特殊四边形的学习.我们可以定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形．[探索体验](1)如图1.已知在四边形ABCD中.∠A=40°.∠B=100°.∠C=120°．求证:四边形ABCD是“等对角四边形．(2)如图2.若AB=AD=a.CB=CD=b.且a≠b.那么四边形ABCD是“等对角四边形吗?试说明理由．[尝试应用](3)如图3.在边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
【探索体验】
（1）如图1，已知在四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．求证：四边形ABCD是“等对角四边形”．
（2）如图2，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．
【尝试应用】
（3）如图3，在边长为6的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA=4m，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点C，使四边形ABCD以∠DAB=∠BCD为等对角的四边形的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据“等对角四边形”的定义进行证明即可；
（2）首先连接BD，由AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，可得∠ABD=∠ADC，△ABD与△CBD不相似，即∠A≠∠C，则可证得结论；
（3）首先连接BD，由当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，可得此时点C在BD为弦的$\widehat{CD}$上，即可得要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，然后过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理求解即可求得答案．

解答（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．
∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=100°，∠A≠∠C，
∴∠D=∠D，
∴四边形ABCD是“等对角四边形”；

（2）证明：如图2，连接BD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，
∴∠ABC=∠ADC，
∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，
∴△ABD与△CBD不相似，
∴∠A≠∠C，
∴四边形ABCD是“等对角四边形”．

（3）如图3，连接BD，
当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，
此时点C在BD为弦的 $\widehat{CD}$上，
要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，
过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，
在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，
∴AH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
∴BH=AB-AH=4，
∵四边形DHBM是矩形，
∴BM=DH=2$\sqrt{3}$，DM=BH=4，
在Rt△DMC中，∠DCM=60°，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=BM+CM=2$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×4=$\frac{38}{3}$$\sqrt{3}$（m²）