Question

19．如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S_△AEF=2S_△AMN
以上结论中，正确的是①②③④（请把正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，求得BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；根据三角形的外角的性质得到∠ANM=∠AEB，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；由△AMN∽△BME，得到$\frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}$，推出△AMB∽△NME，根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{2}$AN，根据相似三角形的性质得到EF=$\sqrt{2}$MN，于是得到S_△AEF=2S_△AMN故④正确．

解答 解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠EAH=∠EAF=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∴∠AEB=∠AEF，
∴BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；
∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN，
∠AEB=90°-∠BAE=90°-（∠HAE-∠BAH）=90°-（45°-∠BAH）=45°+∠BAH，
∴∠ANM=∠AEB，
∴∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确；
∵AC⊥BD，
∴∠AOM=∠ADF=90°，
∵∠MAO=45°-∠NAO，∠DAF=45°-∠NAO，
∴△OAM∽△DAF，故③正确；
连接NE，
∵∠MAN=∠MBE=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}$，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{BM}{ME}$，∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°，
∵∠EAN=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，
∴△AMN∽△AFE，
∴$\frac{MN}{EF}=\frac{AN}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{2}$MN，
∵AB=$\sqrt{2}$AO，
∴S_△AEF=S_△AHE=$\frac{1}{2}$HE•AB=$\frac{1}{2}$EF•AB=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}$MN$•\sqrt{2}$AO=2×$\frac{1}{2}$MN•AO=2S_△AMN．故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．