Question

18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）28和2016这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据“和谐数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算．

解答 解：（1）∵28=8²-6²，
∴28是“和谐数”
∵2016不能表示成两个连续偶数的平方差∴2016不是“和谐数”；

（2）（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∵k为非负整数，
∴2k+1一定为正整数，
∴4（2k+1）一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

点评 此题考查了因式分解的应用，它是一道新定义题目，主要是平方差公式的熟练运用．