Question

4．如图，AC=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，CE∥DB，AE与CD交于点F．请确定线段CF，DB之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 作辅助线，将线段BD分成两条线段，证明CF=DM=BM即可，先根据SAS证明△ACF≌△CBM，CF=BM；再证明△CDM≌△ECF，CF=DM，结论得出．

解答 解：BD=2CF，理由是：
在DB上取一点M，使BM=CF，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB，
∴∠ACD=∠ECB，
∵EC∥BD，
∴∠ECB=∠DBC，
∴∠ACD=∠DBC，
∵AC=BC，
∴△ACF≌△CBM，
∴CF=BM，∠AFC=∠BMC，
∴∠CFE=∠DMC，
∵CE∥BD，∠DCE=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDB=∠DCE=90°，
∵CD=EC，
∴△CDM≌△ECF，
∴CF=DM，
∴CF=DM=BM，
∴BD=2CF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，判断两条线段的数量关系，可以先根据实际长度进行猜想，再进行验证；本题发现BD=2CF，因此想办法将BD分成两条相等线段，再进行证明，因此辅助线的作出是本题的关键．