Question

17．如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：CO⊥BC；
（3）若过A，D，C三点的圆的半径为$\sqrt{3}$，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ACD是直角三角形，进而得出过A，C，D的圆的圆心必是AD中点，即可作出图形；
（2）先求出∠ACO=30°，再求出∠ACB=120°，即可得出结论；
（3）先求出BD=OC，再分两种情况用三角形的中位线和用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴过点A，C，D的圆的圆心是斜边AD的中点，
所以作出边AD的中垂线交AD于O，
即：⊙O为所求作的图形，

（2）如图2，
连接OC，∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
在△ABC中，∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠OCB=90°，
∴CO⊥BC；
（3）由（2）知，∠COD=60°，
∵CO=DO=$\sqrt{3}$，
∴∠ODC=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BCD=∠ADC-∠B=30°=∠B，
∴CD=BD=$\sqrt{3}$，
∴OD=BD，
由（2）知，∠OCB=90°，
∵以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，
∴①当∠BPD=∠BCO=90°，
∴DP∥OC，
∵OD=BD，
∴PD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
②当∠BDP=90°时，
在Rt△BDP中，∠B=30°，BD=$\sqrt{3}$，
∴DP=$\frac{1}{\sqrt{3}}$BD=1，
即：满足条件的DP的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1．

点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理，解（1）的关键是得出过点A，C，D的圆的圆心是AD的中点，解（2）的关键是求出∠ACO=30°，解（3）的关键是分情况讨论．