Question

17．如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．求证：BE=DG．
（1）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．是否仍存在结论BE=DG，若不存在，请说明理由；若存在，给出证明．
（2）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为$\frac{64}{3}$．

Answer 1

分析 想办法证明△BCE≌△DCG即可解决问题；
（1）结论成立．证明方法类似；
（2）由四边形ABCD是菱形，S_△EBC=8，推出S_△AEB+S_△EDC=8，由AE=2DE，推出S_△AEB=2S_△EDC，可得S_△EDC=$\frac{8}{3}$，由△BCE≌△DCG，推出S_△DGC=S_△EBC=8，根据菱形CEFG的面积=2•S_△EGC即可解决问题；

解答 证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，
∵∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG．

（1）：存在　
理由：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG．，
∴BE=DG．

（2）∵四边形ABCD是菱形，S_△EBC=8，
∴S_△AEB+S_△EDC=8，
∵AE=2DE，
∴S_△AEB=2S_△EDC，
∴S_△EDC=$\frac{8}{3}$，
∵△BCE≌△DCG，
∴S_△DGC=S_△EBC=8，
∴S_△ECG=8+$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴菱形CEFG的面积=2•S_△EGC=$\frac{64}{3}$，
故答案为$\frac{64}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题，属于中考常考题型．