Question

20．已知a²=-3a-1，-3b=b²+1，则$a\sqrt{\frac{a}{b}}+b\sqrt{\frac{b}{a}}$=-7．

Answer 1

分析 由a²=-3a-1，-3b=b²+1，可得a，b可以看作是方程x²+3x+1=0的两个根，根据根与系数的关系得到a+b=-3，ab=1，代入化简后的代数式即可得到结果．

解答 解：∵a²=-3a-1，-3b=b²+1，
∴a，b可以看作是方程x²+3x+1=0的两个根，
∴a+b=-3＜0，ab=1＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴$a\sqrt{\frac{a}{b}}+b\sqrt{\frac{b}{a}}$=-$\frac{a\sqrt{ab}}{b}$-$\frac{b\sqrt{ab}}{a}$=-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}\sqrt{ab}$=-$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$$\sqrt{ab}$=-7，
故答案为：-7．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解题的关键．