Question

已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图甲所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：①

 

；②

 

．
（2）（6分）如图乙所示，若AB不是⊙O的直径而是弦，且∠CAE=∠B，EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可；
（2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根据切线的判定推出即可．

解答：解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，
理由是：①∵∠BAE=90°，
∴AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
②∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，
即AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
故答案为：∠BAE=90°，∠EAC=∠ABC；

（2）EF是⊙O的切线，
证明：作直径AM，连接CM，
则∠ACM=90°，∠M=∠ABC，
即∠M+∠CAM=∠ABC+∠CAM=90°，
∵∠CAE=∠ABC，
∴∠CAM+∠CAE=90°，
∴AE⊥AM，
∵AM为直径，
∴EF是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．