Question

18．如图，在⊙O中，已知CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
（1）若AB=8，⊙O的半径为5，则OE=3，连接AD，则AD=2$\sqrt{5}$．
（2）若DE=2，AB=8，则⊙O的半径=5．

Answer 1

分析 （1）连接OA，先根据垂径定理求出AE的长，再由勾股定理即可得出OE的长；求出DE的长，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）设OA=r，根据垂径定理求出AE的长，再由勾股定理即可得出r的值．

解答 解：（1）连接OA，
∵AB=8，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4．
∵OA=5，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
∵OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案为：3，2$\sqrt{5}$；

（2）设OA=r，
∵DE=2，
∴OE=r-2．
∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，AB=8，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4．
∵OA²=AE²+OE²，即r²=4²+（r-2）²，解得r=5．
故答案为：5．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．