Question

已知：如图，△ABC为黄金三角形，即AB=AC，且∠A=36°，求证：

BC

AC

=

5 -1

2

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：证明题

分析：作∠ABC的平分线交AC于D如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，则∠ABD=∠CBD=36°，所以DA=DB，易得BD=BC，则AD=BC，再证明△BCD∽△ABC，得到BC²=CD•AD，则AD²=CD•AD，根据黄金分割的定义得到点D为AC的黄金分割点，则

AD

AC

=

5 -1

2

，于是有

BC

AC

=

5 -1

2

．

解答：证明：作∠ABC的平分线交AC于D，如图，
∵AB=AC，且∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AD，
∴AD²=CD•AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴

AD

AC

=

5 -1

2

，
∴

BC

AC

=

5 -1

2

．

点评：本题考查了黄金分割：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．