Question

将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数

.

abc

，

.

def

，

.

ghi

，

.

beh

，

.

cfi

和

.

aei

都能被11整除，求三位数

.

ceg

的最大值．

Answer 1

分析：利用7个三位数

.

abc

，

.

def

，

.

ghi

，

.

beh

，

.

cfi

和

.

aei

都能被11整除，得出11|（a+c-b+d+f-e+g+i-h），进而得出11|[45-2（b+e+h）]，利用数的整除性得出b+h，d+f，a+I只能取14或3，进而得出答案．

解答：解：∵11|（a+c-b+d+f-e+g+i-h），
∴11|[（a+b+c+d+e+f+g+h+i-2（b+e+h）]，
∴11|[45-2（b+e+h）]，
∴（b+e+h）≡6（bmod11），
又∵b+h=e（bmod11），
∴e≡3（bmod11），
即e=3，
所以b+h，d+f，a+I只能取14或3，
因为14=5+9=8+6，
所以a，e，i，b，h，d，f必须使用数字1，2，9，5，8，6，3，c，g只能取7，4
故

.

ceg

的最大值取734，不考虑旋转，图2是唯一合理填法．

点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，利用11|（a+c-b+d+f-e+g+i-h）得出11|[45-2（b+e+h）]，从而再利用数的整除性求出，注意分析排除得出符合要求的值．