Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上：
①若点P为BC的中点，且m=AP²+BP•PC，则m的值为4；
②若BC边上有2015个不同的点P₁，P₂，…，P₂₀₁₅，且相应的有m₁=AP₁²+BP₁•P₁C，m₂=AP₂²+BP₂•P₂C，…，m₂₀₁₅=AP₂₀₁₅²+BP₂₀₁₅•P₂₀₁₅C，则m₁+m₂+…+m₂₀₁₅的值为8060．

Answer 1

分析 ①根据勾股定理，可得答案；
②根据勾股定理，可得AB²=AD²+BD²，AP₁²=AD²+P₁D²，根据平方差公式，可得AB²-AP₁²=BD²-P₁D²=（BD+P₁D）（BD-P₁D）=P₁C•BP₁，根据等式的性质，可得m₂=AB²=AP₂²+BP₂•P₂C=4，根据有理数的运算，可得答案．

解答 解：①∵AB=AC，P是BC的中点，
∴AP⊥BC
∴m=AB²=AP²+BP²=AP²+BP•CP=4；

②如图所示：

过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD．
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①
在Rt△APD中，AP₁²=AD²+P₁D²②
①-②得：AB²-AP₁²=BD²-P₁D²=（BD+P₁D）（BD-P₁D）=P₁C•BP₁，
∴m₁=AB²=AP₁²+BP₁•P₁C=4，
同理：m₂=AB²=AP₂²+BP₂•P₂C=4，
m₃=AB²=AP₃²+BP₃•P₃C
…
m₁+m₂+…+m₂₀₁₅=4×2015=8060．
故答案为：4，8060．

点评 本题考查了勾股定理，利用了勾股定理，等式的性质，利用平方差公式得出AB²-AP₁²=BD²-P₁D²=（BD+P₁D）（BD-P₁D）=P₁C•BP₁是解题关键．