Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（1，4），BC⊥y轴于C，点D是线段OC上一动点，以AD、BD为边作□ADBE．
（1）若点D坐标为（0，1），判断四边形ADBE的形状，并说明理由；
（2）作直线DE交x轴于点F，
①直线DE是否经过某一定点？若经过，请求出此定点坐标；反之，请说明理由；
②当点D运动到何处时，OF=2OD？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△BCD≌△DOA，得出BD=DA，∠BDC=∠DAO，证出∠ADB=90°，即可得出结论；
（2）①由平行四边形的对角线互相平分得出直线DE经过定点（线段AB的中点），定点坐标为（$\frac{3+1}{2}$，$\frac{0+4}{2}$），即可得出答案；
②当OD=1时，D（0，1），由（1）得：E（4，3），由待定系数法求出直线DE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，得出F（-2，0），证出OF=2OD；当OD=3时，D（0，3），由待定系数法求出直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，求出F（6，0），得出OF=2OD．

解答 解：（1）四边形ADBE是正方形；理由如下
∵点A（3，0），点B（1，4），BC⊥y轴于C，点D坐标为（0，1），
∴OA=3，OC=4，BC=1，OD=1，
∴CB=OD，CD=3=OA，
在△BCD和△DOA中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=OD}&{\;}\\{∠BCD=∠DOA=90°}&{\;}\\{CD=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△DOA（SAS），
∴BD=DA，∠BDC=∠DAO，
∵∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形，
∵BD=DA，
∴四边形ADBE是正方形；

（2）①直线DE经过某一定点，此定点为AB的中点；理由如下：
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴DE与AB互相平分，即直线DE经过定点（线段AB的中点），
定点坐标为（$\frac{3+1}{2}$，$\frac{0+4}{2}$），即定点坐标为（2，2）；

②当点D运动到OD=1或OD=3时，OF=2OD；理由如下：
当OD=1时，如图1所示：D（0，1），
由（1）得：E（4，3），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
当y=0时，x=-2，∴F（-2，0），
∴OF=2，
∴OF=2OD；
当OD=3时，如图2所示：
D（0，3），同理得：E（4，1），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当y=0时，x=6，
∴F（6，0），
∴OF=6，
∴OF=2OD．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、待定系数法求直线的解析式等知识；本题综合性强，有一定难度．