如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=6.BC=12.CD是∠ACB的平分线.动点P从点C出发.沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动.过点P作PE∥AB.分别交CD.CB于F.E.连接PD.设点P的运动时间为t妙.△PDF的面积为s．(1)求当t为何值时.四边形PDBE是平行四边形,(2)求S与t之间的函数关系式,(3)试确定在运动过程中是否存� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，CD是∠ACB的平分线，动点P从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动（点P与A，C不重合），过点P作PE∥AB，分别交CD，CB于F，E，连接PD，设点P的运动时间为t妙，△PDF的面积为s．
（1）求当t为何值时，四边形PDBE是平行四边形；
（2）求S与t之间的函数关系式；
（3）试确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PDF与Rt△ABC的面积之比等于2：25？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

分析（1）由题意得出当PD∥BC时，四边形PDBE是平行四边形，由角平分线和平行线得出∠PDC=∠BCD=∠PCD，证出PD=PC，证明△APD∽△ACB，得出对应边成比例$\frac{AP}{AC}=\frac{PD}{BC}$，即可得出结果；
（2）作DG⊥AC于G，FH⊥AC与H，得出∠GDC=∠PCD=45°，证出DG=CG，由三角函数得出tanA=$\frac{DG}{AG}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{DG}{6-DG}=\frac{12}{6}$，求出DG=4，同理：FH=$\frac{2}{3}$，由s=△CPD的面积-△CPF的面积=$\frac{1}{2}$t×4-$\frac{1}{2}$×t×$\frac{2}{3}$t=-$\frac{1}{3}$t²+2t即可；
（3）由题意得出方程，解方程即可．

解答解：（1）∵PE∥AB，
∴当PD∥BC时，四边形PDBE是平行四边形，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠PCD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠PDC=∠BCD=∠PCD，
∴PD=PC=t，
∴AP=6-t，
∵∠A=∠A，∠APD=∠ACB，
∴△APD∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{PD}{BC}$，即$\frac{6-t}{6}=\frac{t}{12}$，
解得：t=4；
（2）作DG⊥AC于G，FH⊥AC与H，如图所示：
∴∠GDC=∠PCD=45°，
∴DG=CG，
在Rt△AGD和Rt△ACB中，tanA=$\frac{DG}{AG}=\frac{BC}{AC}$，
即$\frac{DG}{6-DG}=\frac{12}{6}$，
解得：DG=4，
同理：FH=$\frac{2}{3}$，
由题意得：s=△CPD的面积-△CPF的面积=$\frac{1}{2}$t×4-$\frac{1}{2}$×t×$\frac{2}{3}$t=-$\frac{1}{3}$t²+2t，
∴s=-$\frac{1}{3}$t²+2t；
（3）存在，理由如下：
由题意得：-$\frac{1}{3}$t²+2t=$\frac{2}{25}$×$\frac{1}{2}$×12×6，
解得：t=3.6或t=2.4；
∴当t=3.6秒或2.4秒时，△PDF与Rt△ABC的面积之比等于2：25．