Question

13．根据条件求二次函数的解析式：
（1）二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），且最大值是3．
（2）抛物线y=（k²-2）x²-4kx+m的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=-$\frac{1}{2}$x+2上，求函数解析式．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，3），则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a即可；
（2）利用抛物线对称轴方程得到-$\frac{-4k}{2（{k}^{2}-2）}$=2，解得k₁=2，k₂=-1，由于抛物线有最低点，则k=2，再利用最低点在直线y=-$\frac{1}{2}$x+2上可确定抛物线的顶点坐标为（2，1），然后根据顶点式写出抛物线解析式．

解答 解：（1）∵二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
而函数的最大值是3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，3）代入得a•2•（-2）=3，解得a=-$\frac{3}{4}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$；
（2）x=-$\frac{-4k}{2（{k}^{2}-2）}$=2，
整理得k²-k-2=0，解得k₁=2，k₂=-1，
∵抛物线有最低点，
∴k²-2＞0，
∴k=2，
当x=2时，y=-$\frac{1}{2}$x+2=1，
即抛物线的顶点坐标为（2，1），
∴抛物线解析式为y=2（x-2）²+1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．