Question

10．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的反向延长线上，EP是⊙O的切线，
（1）求证：EG=EP；
（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，G是BP的中点，⊙O的半径为5，CD=8，求cos$\frac{1}{2}$∠PEF．

Answer 1

分析 （1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．
（2）连结OG，OP，OD，根据垂径定理得到DF=$\frac{1}{2}$CD=4，根据勾股定理得到OF=$\sqrt{O{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，根据相似三角形的性质得到BG=$\sqrt{15}$，过E作EH⊥PG于H，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1连结OP，
∵EP是⊙O的切线，AB⊥CD，
∴∠EPO=∠BFG=90°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵∠EGP=∠BGF，
∴∠EPG=∠EGP，
∴EP=EG；

（2）解：如图2，连结OG，OP，OD，
∵AB⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴OF=$\sqrt{O{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴BF=2，
∵PG=BG，
∴OG⊥PB，
∴△BGO∽△BFG，
∴$\frac{BG}{BO}=\frac{BF}{BG}$，
∴BG=$\sqrt{10}$，
过E作EH⊥PG于H，
∵PE=GE，
∴∠HEG=$\frac{1}{2}∠$PEF，
∵∠HEG=∠B，
∴$\frac{1}{2}∠$PEF=∠B，
∴cos$\frac{1}{2}$∠PEF=cos∠B=$\frac{BG}{BO}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上各知识点的内容及综合应用．