Question

7．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；
（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；
（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解决问题．
（2）如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=45°-∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题．
（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周长为BA+BC是定值．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN，
∴AM=CN．
在△OAM与△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAM=∠OCN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$
∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON，
∴∠AOM=∠CON=22.5⁰，
∴MN∥AC时，旋转角为22.5⁰．

（2）证明：如图2中，

过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE与△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}\\{OA=OC}\\{∠EAO=∠NCO=90°}\end{array}\right.$
∴△OAE≌△OCN（ASA），
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME与△OMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}\\{∠EOM=∠NOM=45°}\\{OM=OM}\end{array}\right.$
∴△OME≌△OMN（SAS），
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF．
∴OA=OF=2，
∴在旋转过程中，高为定值．
\
（3）旋转过程中，p值不变化．
理由：∵△OME≌△OMN，
∴ME=MN，
∵AE=CN，
∴MN=ME-AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．
∴△MBN的周长p为定值．

点评 本题考查一次函数的性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，判定三角形全等是关键，属于中考常考题型．