Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图1）且AD=CE，请写出：BA和AC的位置关系AB⊥AC．（不必证明）
（2）若BC在DE的两侧（如图2）其他条件不变，请问（1）中AB与AC的位置关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得△ABD≌△CAE，可得∠DAB=∠ACE，再根据三角形内角和定理即可证得结论；
（2）与（1）同理结论仍成立．

解答 （1）解：
∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{AD=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB=∠ACE．
又∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°，
即AB⊥AC，
故答案为：AB⊥AC；
（2）成立．
证明如下：
∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{AD=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB=∠ACE．
又∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°，
即AB⊥AC

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（对应角相等、对应边相等）是解题的关键．