Question

8．如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=$\sqrt{3}$，∠ACB=90°，∠A=30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第4次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（$\frac{16}{3}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）π（结果用含π的式子表示）．

Answer 1

分析 根据含30°的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A₁，再以点C₁为旋转中心，顺时针旋转90°到A₂，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第4次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．

解答 解：∵Rt△ABC中，AC=$\sqrt{3}$，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；
∵Rt△ABC由现在的位置向右无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有4个$\widehat{A{A}_{1}}$的长，3个$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$的长，
∴点A经过的路线长=$\frac{120•π•2}{180}$×4+$\frac{90•π•\sqrt{3}}{180}$×3=（$\frac{16}{3}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）π，
故答案为：（$\frac{16}{3}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）π．

点评 本题考查了弧长公式：l=$\frac{nπr}{180}$（其中n为圆心角的度数，r为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．