题目内容

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4．△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3、…、△AnBnCn是n个相同的等腰直角三角形，其直角顶点C1、C2、C3、…、Cn都在CB边上，点A1在AC上，A2C2经过点B1且平行于A1C1，A3C3经过点B2且平行于A2C2，…，AnCn过点Bn-1且平行于An-1Cn-1，且A1C=2CC1．当n=7时，点B7正好落在AB边，则这个小的等腰直角三角形的直角边长为（　　）
A．$\frac{1}{7}$B．$\frac{\sqrt{5}}{7}$C．$\frac{\sqrt{5}}{5}$D．$\frac{8\sqrt{5}}{5}$

分析 ①作B1D⊥BC于D．首先设CC1=x，然后表示出A1C=2x，A1C1=$\sqrt{5}$x，结合已知线段利用两组对应边的比相等且夹角相等证得△ABC∽△C1CA1，利用相似三角形的性质得到∠CA1C1=∠B，从而证得C1CA1≌△B1C1D，然后根据CC1+C1B=BC列出方程x+4x=4后求解x值即可得到a1=A1C1=$\sqrt{5}$x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
②作B2D⊥BC于D．与第（1）题类似得到C1CA1∽△C2C1B1，利用相似三角形的对应边的比相等得到C1C2=$\frac{5}{2}$x，从而根据CC1+C1C2+C2D=BC得到方程x+$\frac{5}{2}$x+4x=4求得x=$\frac{8}{15}$后即可得到a2=A1C1=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$；
③作BnD⊥BC于D．由第（1）、（2）两小题可知BCn=4x，从而得到C1C2=C2C3=…=Cn-1Cn=$\frac{5}{2}$x，利用CC1+C1C2+C2C3+…+CnD=BC得到方程x+$\frac{5}{2}$x（n-1）+4x=4求解x=$\frac{8}{5n+5}$后即可得到an=A1C1=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{5n+5}$．

解答 解：①如图1，作B1D⊥BC于D．
设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=$\sqrt{5}$x．
∵AC=2，BC=4，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{C{C}_{1}}{{A}_{1}C}$
∵∠ACB=∠C1CA1=90°，
∴△ABC∽△C1A1C，
∴∠CA1C1=∠B．
∵∠CA1C1=90°-∠A1C1C=∠B1C1D，
∠C=∠B1DC1=90°，A1C1=C1B1，
∴△C1CA1≌△B1DC1，
∴C1D=A1C=2x，∠CA1C1=∠B1C1D=∠B，
∴BD=C1D=2x，BC1=4x．
∵CC1+C1B=BC，
∴x+4x=4，
解得：x=$\frac{4}{5}$，
∴a1=A1C1=$\sqrt{5}$x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
②如图2，作B2D⊥BC于D．
设CC1=x，则A1C=2x，A1C1=B1C1=A2C2=B2C2=$\sqrt{5}$x，
由①可知BC2=C2D+BD=4x．
∵A1C1∥A2C2，
∴∠A1C1C=∠B1C2C1．
∵∠C=∠C1B1C2=90°，
∴△C1CA1∽△C2B1C1．
∴$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{{C}_{1}{C}_{2}}$=$\frac{{A}_{1}C}{{A}_{1}{C}_{1}}$，
∴C1C2=$\frac{5}{2}$x．
∵CC1+C1C2+BC2=BC，
∴x+$\frac{5}{2}$x+4x=4，
∴x=$\frac{8}{15}$，
∴a2=A1C1=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{15}$．
③如图3，作BnD⊥BC于D．
由①②可知BCn=4x，
C1C2=C2C3=…=Cn-1Cn=$\frac{5}{2}$x．
∵CC1+C1C2+C2C3+…+BCn=BC，
∴x+$\frac{5}{2}$x（n-1）+4x=4，
∴x=$\frac{8}{5n+5}$，
∴an=A1C1=$\sqrt{5}$x=$\frac{8\sqrt{5}}{5n+5}$，
∴a7=$\frac{8\sqrt{5}}{5×7+5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

练习册系列答案
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3．计算：：
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（2）（$\frac{{a}^{2}b}{-c}$）2•（$\frac{{c}^{2}}{-ab}$）3÷（$\frac{bc}{a}$）4
（3）$\frac{a-1}{{a}^{2}-4a+4}$÷$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}-4}$                  
（4）$\frac{2-x}{x-1}$÷（x+1-$\frac{3}{x-1}$）．

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