Question

10．如图，A、B、C、D四点在⊙O上，BD为⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=2cm，求BD的长；
（3）若3DE=DC，4DE=BC，AD=5，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连结OA，如图，先证明OA∥CD，再由AE⊥CD得到OA⊥AE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由圆周角定理得到∠C=90°，则∠BDC=90°-∠DBC=60°，利用平角定理可计算出∠1=∠2=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ADE中计算出AD=2DE=4，然后利用△OAD为等边三角形得到OD=AD=4，所以BD=2OD=8cm；
（3）设DE=x，则BC=4x，CD=3x，利用勾股定理得到BD=5x，再由BD为直径得到∠BAD=90°，接着证明Rt△ADE∽Rt△BDA，然后利用相似比得$\frac{5}{5x}$=$\frac{x}{5}$，则可求出x的值，从而得到BD的长．

解答 （1）证明：连结OA，如图，
∵DA平分∠BDE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥CD，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD为直径，
∴∠C=90°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-30°=60°，
∴∠1=∠2=60°，
在Rt△ADE中，∵∠4=30°，
∴AD=2DE=4，
∵∠1=60°，OA=OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴OD=AD=4，
∴BD=2OD=8cm；
（3）解：设DE=x，则BC=4x，CD=3x，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5x，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ADE∽Rt△BDA，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，即$\frac{5}{5x}$=$\frac{x}{5}$，
∴x=$\sqrt{5}$，
∴BD=5x=5$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．