Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC²=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=5，求

AC

CF

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC²=AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=

1

2

AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得

AC

CF

的值．

解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=

1

2

AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=

1

2

AB，
∴CE=

1

2

×5=2.5，
∵AD=4，
∴

4

2.5

=

AF

CF

，
∴

AC

CF

=

13

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．