Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．连接B、D，使分别交AM、AN于E、F，求证：
（1）△AEN、△AFM都为等腰直角三角形．
（2）S_△AMN=2S_△AEF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）将△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，连接MN，易证△MAH≌△MAN，可得HM=NM，∠HMA=∠NMA，即可证明△EMH≌△EMN，可得∠HEM=∠NEM即可解题；
（2）根据等腰三角形性质可得AM=

2

AF，AN=

2

AE，根据S_△AMN=

1

2

AM•AN•sin45°和S_△AEF=

1

2

AE•AF•sin45°即可解题．

解答：证明：（1）将△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，连接MN，

∴AH=AN，∠BAH=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAM=∠BAM+∠BAN=45°，
∵在△MAH和△MAN中，

AN=AH ∠NAM=∠HAM AM=AM

，
∴△MAH≌△MAN，（SAS）
∴HM=NM，∠HMA=∠NMA，
∵在△EMH和△EMN中，

HM=NM ∠HME=∠NME EM=EM

，
∴△EMH≌△EMN，（SAS）
∴∠HEM=∠NEM，
∵H、E、N在同一直线上，
∴∠HEM=∠NEM=90°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
（2）∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=

2

AF，AN=

2

AE，
∵S_△AMN=

1

2

AM•AN•sin45°，
S_△AEF=

1

2

AE•AF•sin45°，
∴

S△AMN

S△AEF

=

2

×

2

=2，
∴S_△AMN=2S_△AEF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△MAH≌△MAN和△EMH≌△EMN是解题的关键．