Question

如图，AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，过点C作CD∥AB，交⊙O于点D，连接BC、BD．

（1）判断BC与BD的数量关系，并说明理由；

（2）若AB＝9，BC＝6，求⊙O的半径．

 

Answer 1

解：（1）BC＝BD．理由如下：

连接OB，并反向延长交CD于点E．

        ∵AB与⊙O相切，切点为B，

∴∠EBA＝90°．

∵CD∥AB，

∴∠DEB＝∠EBA＝90°，即BE⊥CD．

∴CE＝ED．

∴BC＝BD．

（2）方法一：

连接AO，与BC交于点F．

∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，

            ∴AB＝AC，∠CAO＝∠BAO．

            ∴AO⊥BC，BF＝BC＝3．

            ∴在Rt△AFB中，AF＝＝6．

∵∠FAB＝∠BAO，∠AFB＝∠ABO＝90°，

∴△FAB∽△BAO．

∴＝，即＝．

∴BO＝，即⊙O的半径是．

方法二：

∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，

            ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

            ∵CD∥AB，

            ∴∠DCB＝∠ABC．

由（1）知△BDC是等腰三角形．

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BCD＝∠BDC．

∴△ABC∽△BDC．

∴＝，即＝．

∴CD＝4．

∴CE＝CD＝2．

在Rt△BEC中，BE＝

作OF⊥BC，垂足为F．则BF＝BC＝3．

∵∠OFB＝∠CEB＝90°，∠OBF＝∠CBE，

∴△OBF∽△CBE．

∴＝，即＝．

∴OB＝，即⊙O的半径是．

方法三：

∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，

            ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

            ∵CD∥AB，

            ∴∠DCB＝∠ABC．

由（1）知△BDC是等腰三角形．

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BCD＝∠BDC．

∴△ABC∽△BDC．

∴＝，即＝．

∴CD＝4．

∴CE＝CD＝2．

在Rt△BEC中，BE＝

连接OC，在Rt△CEO中，EC²＋OE²＝OC²．

            设⊙O的半径是R，则2²＋(4－R) ²＝R²．

            解这个方程，得R＝，即⊙O的半径是．