题目内容
已知∠AOB=90°，在∠AOB的角平分线OM上有一点C，且OC=a，将一块三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E，△OCD的面积记作S1，△OCE的面积记作S2．
（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，则S1+S2的值（用a表示）= ；
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，S1、S2之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，则S1+S2的值（用a表示）=
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，S1、S2之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
考点：旋转的性质
专题：
分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=CE，然后判断出四边形OECD是正方形，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解；
（2）过点C作CF⊥OA于F，作OG⊥OB于G，同（1）可得CF=CG，根据同角的余角相等求出∠DCF=∠ECG，再利用“角边角”证明△CDF和△CEG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△CDF=S△CEG，再根据图形表示出这两个三角形的面积列出方程整理即可得解．
（2）过点C作CF⊥OA于F，作OG⊥OB于G，同（1）可得CF=CG，根据同角的余角相等求出∠DCF=∠ECG，再利用“角边角”证明△CDF和△CEG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△CDF=S△CEG，再根据图形表示出这两个三角形的面积列出方程整理即可得解．
解答：解：（1）∵CD⊥OA，∠DCE=90°，∠AOB=90°，
∴四边形OECD是矩形，
∴CE⊥OB，
又∴点C是∠AOB的角平分线的一点，
∴CD=CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴S1+S2=a2；
故答案为：a2；
（2）如图，过点C作CF⊥OA于F，作OG⊥OB于G，
同（1）可得CF=CG，
∵∠DCF+∠DCG=∠ECG+∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠ECG，
在△CDF和△CEG中，
，
∴△CDF≌△CEG（ASA），
∴S△CDF=S△CEG，
如图2，S△CDF=
a2-S1，S△CEG=S2-
a2，
所以，
a2-S1=S2-
a2，
所以，S1+S2=a2；
如图3，S△CDF=
a2+S1，S△CEG=S2-
a2，
所以，
a2+S1=S2-
a2，
所以，S2-S1=a2．
∴四边形OECD是矩形，
∴CE⊥OB，
又∴点C是∠AOB的角平分线的一点，
∴CD=CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴S1+S2=a2；
故答案为：a2；
（2）如图，过点C作CF⊥OA于F，作OG⊥OB于G，
同（1）可得CF=CG，
∵∠DCF+∠DCG=∠ECG+∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠ECG，
在△CDF和△CEG中，
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∴△CDF≌△CEG（ASA），
∴S△CDF=S△CEG，
如图2，S△CDF=
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所以，
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所以，S1+S2=a2；
如图3，S△CDF=
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所以，
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所以，S2-S1=a2．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的正方形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于（2）根据图象利用全等三角形的面积相等列出方程．
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